(楊美伶校長/2009年原鄉科普教育計畫屏東場課程整理記錄) 

 數學要學好,數感很關鍵,但好像有些小朋友就是很缺乏,數學老師常跟校長抱怨,數學課的時間根本不夠教到小朋友懂,都要另外找時間才行。教育改革這麼多年了,推動的初衷是「教孩子帶著走的能力」,有些老師說:「教都教不完,哪有時間討論?」但這是價值的問題,也就是對教育的信念,「價值左右我們教育孩子的過程」。數學老師的責任,就是要讓學生能理解數學、了解概念,以及如何運用概念解決問題。

【因數與倍數】排積木引導理解

首先要跟大家談談《因數與倍數》的教學。「因數」這個詞對小朋友有點難,他們不知道「因」的意思,雖然因包含「成分」的感覺,但要讓學生感覺「因」,不能直接講,會太抽象了。

老師該先告知學生概念,還是先用情境理解?

我建議讓學生拿白色小積木,去排排看,以增進對「公因數」的理解。以12個白色小積木,要小朋友用積木排成長方形,他們通常會排成「二排」或更多排,不太會只排「一排」,覺得那是「一條」,不是「長方形」,老師就要適時引導。例如:

12個白色小積木,
12個一排,可以排成一排(12÷12=1);
6個一排,可以排成二排(12÷6=2);
4個一排,可以排成三排(12÷4=3);
3個一排,可以排成四排(12÷3=4);
2個一排,可以排成六排(12÷2=6);
1個一排,可以排成十二排(12÷1=12);

學生透過排積木活動與除法算式的關聯,理解因數的意義。
白色積木教質數也很好用,質數是除了1和自己以外沒有因數的數字,例如有13個白色小積木,除了排成一排,無法排出其他長方形,因此13這個數是質數。

當題意不容易了解,學生無法審題,就需透過實際操作來釐清題意。給了題目就不知道怎麼辦的小朋友,特別需要老師的關心,像排積木,很快理解題目的小朋友常常根本不用排就會了,但讓很難理解題目的小朋友先排積木,會有助他們先釐清概念,把排積木跟除法的意義連結起來,除的意思是「分東西」,當東西剛好可以分完,就是「整除」的概念,並連結因數的意義。


常說「我不會」的學生更需要鼓勵

對於常說「我不會我不會……嗚嗚,我數學好差」的孩子,特別需要老師鼓勵。解題前要先教小朋友理解題意,讓題意更明確。教學生解題,不要直接教導解題策略,那是老師在解題,學生只是嘗試理解老師如何解題,我們要將解題的責任交還給孩子。例如:要問小朋友,題目是要問我們什麼?對題目不懂在哪裡?要先算甚麼?再算甚麼?問題中提供的數字資訊是甚麼?還需要其他的資訊嗎?怎麼得到?…等。

以「把一張長36cm、寬24cm的長方形厚紙板,剪成全等的正方形,且沒有剩餘,最大正方形邊長是多少?」為例,建議老師鼓勵學生分成小組討論,他們會先猜,要排滿長方形,用邊長2cm 的正方形可以嗎?用邊長 3cm 的正方形可以嗎?4公分、6公分呢…呢?孩子在猜測、試排看看的過程裡,會在無形中理解「因數的意義」。當使用某一種size的正方形可以鋪滿這個長36公分、寬24公分的長方形時,就等於這個長方形的長與寬同時可以被這個size的正方形整除,也就是找到了長、寬的公因數。而其中可以鋪滿長方形的最大的正方形的邊長就是長方形長和寬的最大公因數,因此能夠滿長方形的最大正方形的邊長是12公分。

錯沒有關係,做錯才能教

老師需要協助學生搭起「具體操作」和「形式運作」的意義橋樑,而且要記住:「孩子錯是可貴的,做錯才是教他最好的機會,錯沒有關係。」小孩子如果覺得他不好,你要趕快鼓勵他說:「出錯不是嚴重的問題,把錯的地方弄懂才是最重要的」。所以即使學生講錯也要讓他有信心,老師千萬不要皺眉頭,還是要鼓勵,例如跟全班講:「他說得很好,他很有看法喔!」雖然上台講的學生說法不一定正確。當孩子的想法被肯定,對數學就會比較有興趣。


【量感與學習】量感要從實際經驗與操作中獲得

再來我們談談《量感與學習》。這個教室有多大?大家講講你猜的答案?每個人估算的方法跟你的生活經驗有關,時間長短比較會受個人心裡感受的影響,不容易客觀,但量感和容積,通常可以直接或間接比較。我對「一公頃」本來沒什麼感覺,後來當校長才比較有,知道校地面積一點五公頃有多大。

數學學習是經驗之間的銜接,小朋友從小拿尺去測量,他會知道五公分有多長,但不見得知道五公分等於「五個一公分的合成」,要由數學老師扮演橋樑告訴他,可以透過白色小積木邊長1公分和尺的公分刻度比對,當拿3個白色小積木連接起來的長和刻度0-3對應,得到長是3公分,建立3公分是3個一公分的概念。當然3個白色小積木連接起來的長,也可以和刻度2-5對應,得到長是3公分。這個活動使得長度具有加法性,例如5公分 +3公分=8公分,意指5個一公分加3個一公分,得到8個一公分,就是8公分。

知道五公分的長度有多長是第一層知識,第二層「要知道那是五個一公分合起來」。基本單位量感要從小培養,到後來教面積,就是從基本單位延伸變形的保留性概念,例如把一平方公尺正方形對摺,可連接成不同形狀。

數學課的教具會用到「透明墊版」,這跟「鋪排」不一樣,前者是用來「測量」面積大小,後者用來透過鋪排的「覆蓋」活動來感覺面積的意義。我在看學生在進行複製體積的活動時,發現一些現象。例如要學生用積木做一個同樣盒子大小的體積,很多學生會將積木繞著盒子的四周圍起來,造成表面積和體積的混淆。教體積一開始要拿實體,讓學生複製形體,引導小朋友先擺底面積的面,再一層一層堆起來,層層堆疊的經驗,可以讓學生掌握體積的意義。

【幾何表徵與學習】透過表徵活動建立概念

例如認識三角形的活動,要準備圖卡,不要每次都把三角形正著擺,例如等腰三角形,先將圖卡正著百,再將圖卡轉動,問學生現在是否還是等腰?學生會說:「老師,那兩個腰歪掉了」,這是檢驗學生是否具有圖形保留性概念的重要活動。

增進幾何學習的表徵活動有哪些?舉例來說,第一種是「觸摸形體配對活動」,讓學生在看不到的情況下,用摸的觸覺去配對,他們要去摸形體的特色,再靠想像去比較。第二種是「讓小朋友玩拼圖或七巧板」,對他們的幾何概念和空間理解會有幫助。有玩紙板的經驗,就可以透過圖形移動去建立空間的想像能力,包括平移、翻轉和旋轉。此外,七巧板還可以認識等積異形、分數概念等。老師還可以讓學生用釘板劃分面積,用橡皮筋來圈地。

或許有些家長會問:「考試不考,玩這幹嘛?」大家要知道,生活需要很多空間能力,你怎麼知道這小孩長大會不會變成建築師?數學也可以跟藝術生活結合,例如拿花布來玩排列組合,會發現小朋友非常有創意,尤其原住民小朋友的天生對稱感比較強,從原住民的花布創作可以看出這項特有才能。


【數學解題】四步驟引導

這堂課最後要跟大家談「解題」。可以分成四個步驟來看:

1.理解題意:

第一步很重要,上課一定要討論這件事,有的題目學生讀三遍也不懂。有的老師會無法了解「為什麼不懂的人會不懂?」,因為設身處地為人設想是很難做到的。老師要示範如何思考問題,而非如何解題。你如果問全班:「現在誰要出來當老師?」很多小孩會舉手。你讓學生出來模仿老師問問題,關鍵在:「你會問問題,就會思考」。他會很用力記住「問問題的步驟」。

2.擬定解題計畫:

第二步讓學生學會擬定解題計畫,先算什麼呢?然後呢?讓孩子用簡短的文字敘述解題步驟,就知道他會錯在哪。

3.執行解題計畫:

學生將解題計畫用數學算式來表示,並且執行運算,進行解題。

4.回顧與反思:

問學生這樣作對了嘛?反推回去合不合用?檢查計算有沒有錯?還有沒有其他的算法?

數學解題的基本目的還是在「理解」,背公式很痛苦,死記公式,不是真正理解,遇到大型考試會吃虧,因為大型考試考題靈活,必須能運用與連結概念,加上正確的運算,才比較得利。

理解重於熟練,注意分配時間

有老師問:「習題要算又要寫,感覺沒有時間討論,有限的時間要怎麼利用?」

我的看法是,老師要先看一個單元有多少時間,如果有兩百分鐘,要怎麼安排?首先要想的是要教的概念是甚麼?如何鋪陳活動?如何檢驗學生是否已習得概念?對於未能完全學習的學生,有些老師會用午休的時間,幫助個別指導的孩子,補救教學只能在課餘或課後,確實也不容易。但教學久了之後,老師慢慢會發現,究竟什麼樣的教法是好的。我看重的是「你是不是真的懂了」,比較不會在課堂上花時間去作反覆練習或大量寫考卷的事,我們應該在有限的時間在課堂上紮實的上課。

學生逐年長大,中高年級數學課發生的問題,很多出在前面奠基不夠。還是要先讓學生理解意義,例如乘法,探索是要花時間的,先花一堂或兩堂,確切知道學生懂得概念,後面就不用作很多例題。

(屏東場上課場景)

多元包容,別用同一標準看學生

我兒子從小學三年級開始就要自己坐公車,讓孩子學習獨立,放手,孩子成長的空間更大。教學也是如此,我們讓出更多的時間給學生探索,學生就獲得更多的學習空間。你要知道孩子那裡不懂,然後要把他不懂的地方弄清楚。每個孩子的成長背景不同,形成知識的過程也不同,要用不同的眼光去看孩子,不要用同一標準看待人。

我也想提醒老師們,不要為了學生成績不好而生氣,要讓他們感受老師的關心。

 

(創意快遞電子報主編八寶記錄整理)

 

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