遊戲數學—房昔梅老師(2009年原鄉科普計畫課程整理記錄)
 

【數字拼圖】提昇學生的數感

數學好不好,有多少機會可以把數學學好,跟「數感」有很大的關係。什麼是「數感」?數感是一種對數字的敏銳度,就像有人天生方向感很好,也有人天生數感很好,但即便天生缺乏數感,也可能透過練習建立更敏銳的數感,培養學生自我判斷「計算結果是否合理」的能力。

 

以上圖為例,這個題目原本是『從1~12選10個數字填入圓圈,使每一條直線的數字和都是24』。但是有一次,我因為口誤,把題目說成『把1~10這10個數字填入圓圈,使每一條直線的數字和都是24』,當時自己並未察覺,學生們也立刻開始填算,不到五分鐘,有位四年級的學生就發現「這個問題有問題」,他舉手說:「老師,你題目出錯了,這一題沒有答案。」我問他:「你怎麼知道?」他回答:「1加到10等於55,在這個圖每個數字都要用到兩次,55乘以2是110;題目說每一條直線的數字和都是24,五條線的總和是120。兩個總數不合!」

他的說法完全正確!這就是數感,學生應該要懂得運用邏輯來思考題目合理性,而不是盲目的操弄數字卻找不到解題的關鍵點。可惜學校的數學課程經常使學生困在計算當中,卻沒有提供思考的機會。

月曆、撲克牌都可當教材

要避免學生瞎猜、教會他們推理,老師可以多用數字遊戲來提高學生的數感。一看到考卷學生都很怕,一聽到遊戲都很高興。大家都玩過九宮格,要在九個方格中填入1到9的數字,使直向、橫向以及對角線,三格的數字和都是15。這個題目很多小朋友都會做,因為數字不大,要湊出答案並不困難。而且,做完之後,儘管答案的排列不同,小朋友們很容易發現,大家的「5」都寫在中間。但為什麼「5」一定要放中間?為什麼每三格的和一定是「15」?如果不帶領小朋友深入討論,我們很容易發現:如果把填入九宮格的數字改成2到10,學生就不會做了。同一種遊戲可以換很多種玩法,九宮格的遊戲,可以把填入的數字改成純奇數,例如:填入5到21的奇數;或純偶數,例入填入8到24的偶數,玩的時候未必使用紙筆,有時候讓孩子看著題目心算,也能提昇數感。

 

另外可以用月曆來玩,如果把月曆的日期用方格圈起來(如上圖),會發現無論直線、斜線或對角線的三格當中,上下、左右兩端的數字和恰好等於中間數字的2倍,運用這種邏輯,學生可以很方便算出九個方板的數字總和。讓學生任意在月曆上圈出呈九宮格狀的九個數字,讓他們思考為什麼,並察覺數字的規律。但不建議一次給小朋友太多的練習,這樣他們很容易覺得「好膩」,而且要在孩子最想玩的時候停,他們才會期待下次還要玩,就像最想吃的東西但吃的量有點不足,下次才會很想再吃。

建議老師可以準備一副大大的撲克牌(如A4大小),並且經過護貝,這樣可以重複便用,甚至用到退休,基於環保的觀點,任何教具都要以用到退休為目標。上課中,老師在黑板上寫出一個數字,或是亮出一張數字卡,小朋友很容易認為:又要做數學題目了!但是,如果老師拿出一張撲克牌,小孩就會直覺得你要跟他玩。例如讓四個值日生每個人抽一張撲克牌,展示在黑板上,讓學生想辦法用這四張牌的點數做加減乘除,湊出總和為24的算式。這樣的遊戲,會讓小朋友們覺得很有趣。但是,萬一每個人都抽出A,學生可能會發現:很難湊出24。這時候就可以帶領小朋友們討論:為什麼不可能?抽出的點數和要大於多少才好算?哪些數字可以作出最多變化?四張牌的和小於多少時,很難算出24?這些都可以刺激學生思考。

用生活實例培養分數的數感

有些學生剛開始接觸「分數」會很不能理解,我曾看過有學生回答「3/4 (四分之三)」是「4個3」(附註)。生活中我們很少直接用分數來描述被分開的東西,最容易察覺不完整、被切割的是圓形的東西,例如蛋糕、披薩等等。老師題前,要先想好題目的類型:「連續量」和「離散量」,「連續量」是分割過後,就不完整了,例如披薩;「離散量」則是分割過後的部份仍然是完整的個體,例如:一盒鳳梨酥。先教連續量的例子,比較不容易讓學生觀念混淆。

我曾看過一個題目:「學校舉行校外教學,上車前小明吃了1/4 (四分之一)顆暈車藥,小毛吃了2/4 (四分之二)顆暈車藥,兩人共吃了幾顆暈車藥?」生活中,我們很少這樣吃藥,並且很難理解為什麼要把兩人吃的藥相加。布題的時候,要盡量配合學生的生活經驗,否則學生只對數字有反應,卻不關心題意,解題能力很難獲得提昇。這其實是一種警訊,學生會變得沒有思考判斷能力,許多孩子擅長計算題,卻對應用題感到困難,就是這個原因。

在制式數學教育中,學生從小到大被教的方式是去記很多計算規則,但人的記憶是有限的,一旦記太多規則混淆,他們會變得很恐慌。因此不管無論教了什麼計算規則,一定要學生真切了解運算規則背後的原因。當你想確認學生對分數的概念懂不懂,與其要他算,不如要他畫出來或寫出來(如上圖),你會發現有些學生計算答案正確,可是概念還是一團混亂。

鼓勵學生用圖像思考

我一向不用課本上課,學生問我要不要拿白板出來?只要我答不需要,學生就會很高興,因為知道老師要玩別的東西而充滿期待,我只負責問問題、講故事,玩遊戲,其他都讓學生自己思考,經由討論、澄清數學概念。剛開始學生會偷翻課本找答案,發現課本上沒有答案的時候,才會強迫自己思考。我認為課本是給父母看的,如果小孩看得懂,就不用來上學;如果小孩看不懂,那老師在學校照本宣科,他們可能也學不會。我會在下課前五分鐘請學生拿出課本寫該課程的題目。

我常禁止學生寫算式,強迫他們做各種思考,尤其是圖像思考,有助於建立具體的數學概念。有些學生在單位轉換之間會有困難,例如一盒18顆的巧克力,吃掉1/3(三分之一)盒,還剩下幾顆?我曾看過有學生回答還有17/3 (三分之十七)顆巧克力,進一步追問:你看過17/3(三分之十七) 顆巧克力嗎?學生就會發現「好噁心喔,那是被咬過的巧克力,這個算法不對。」讓學生練習用文字或圖形說明5/7 (七分之五)減掉3/7(七分之三) 等於多少?會比直接叫學生計算算,更能建立分數概念。

 

【超級大富翁】寓教於樂

 

學生不喜歡數學,通常是累積了太多挫折感,「數學害我一直被罵」,當然就不會有興趣。成功的數學課會把計算變好玩,把枯燥乏味的教材,用有趣的方式讓孩子學會,但是一個成功的數學遊戲不能光是好玩,還要確保學生能學習數學概念。有些遊戲很有趣,玩過之後學生卻一無所獲。要用遊戲引起學生的動機很容易,要藉此讓他們熟練運算技巧也不難,最難的部分還是建立學生的數學概念。

好的數學遊戲是讓孩子在不知不覺中計算,並讓遊戲的結果回到「數學概念」,過程可用競賽方式刺激孩子的動力。例如小學四年級教「幾億幾兆」的大數,學生說我一輩子都賺不到那麼多錢,為什麼要學呢?老師說我也賺不到,結果大家都覺得無聊。

於是我設計了「超級大富翁」,製作數字很大的玩具紙鈔,一把遊戲的大地圖貼在黑板上就震驚全班。遊戲把數學計算融入走地圖逛街當中,萬一有人算錯就不能前進,讓學生分組,要整組都會了才開始玩。為了讓學生乖乖配合玩,我規定不能責怪別人,聽到責怪就要罰那組的錢,太吵也要罰錢,如果有一組破產這個學期就再也不玩,那同學就不會互相陷害。我選擇在「綜合活動」讓他們玩,非常受歡迎,最後超級大富翁整整玩了一個月,學生都變得「善於算錢,珍惜金錢」。

【百變大風吹】動態遊戲更增樂趣


剛剛介紹的數字填空、超級大富翁都是室內靜態遊戲,教到立體時,還可以用「驚奇箱」,讓他們看不到自己摸的東西,卻要說出是椎體、圓球還是柱型等等。老師通常希望學生乖乖坐在教室裡聽課,學生卻是只要能離開教室就很快樂,偶爾玩一些動態與戶外的遊戲,更能增加學生對數學的興趣。

有一種顏色不同長度就不同的「扣條」(如上圖,圖左取材自房昔梅老師的數學天地),很適合拿來教幾何形狀。你讓學生用扣條作三角形,當學生實作發現哪兩條加哪一條扣不成三角形,就會逐漸領悟構成三角形的原則是:「兩邊長的和必須大於第三邊」。

我發現沒有安全感或沒有自信的孩子,通常只會拿一樣顏色的扣條做正三角形。要學生作鈍角、銳角和直角三角形時,會發現角的分類對大部分孩子有困難的,很容易混淆。要檢驗學生是否能清楚分辨各類三角形,可以用「大風吹」的動態遊戲來檢驗,可以用「角」分類,也可以用「邊」分類,老師可以用不同方式檢驗學生的學習。

當然班上難免出現「吹什麼都跑」或「吹什麼不動」的學生,老師一定要特別注意這兩類的孩子,對於吹什麼都一定起身狂奔的孩子,可以請孩子上台來當警察負責抓跑錯的人,讓他有事情做,並且參與學習。

同形狀多角度變化

「玩」過三角形,還要做四邊形,你會發現讓學生「聽」和「做」往往是兩件事情。介紹任何一種幾何形狀,要盡量讓學生看到同種形狀不同方向的感覺,否則他永遠只認知某個方向的形狀,例如一講到平行四邊形,學生總是想到上下兩條平行線,斜歪向右邊的平行四邊形,同樣的四邊形轉個角度他就認不得了,這個用幾何扣條做成的平行四邊形反過來秀給孩子看,自然就容易懂了。

動態遊戲還有訓練孩子方位座標觀念的「查戶口尋寶」,及訓練「量感」的測量天地等等,我在教室準備了一把長度一公尺的尺,要同學先猜測估算黑板、教室的一邊或走廊有多長,再要同學實際去量量看。

玩數學遊戲一定要注意:「好的開始是成功的一半,完美的結束是成功的全部」,最後要讓孩子感覺開心地學到東西。當你設定的練習學生全部做完了,最好留點時間讓他們拿扣條自由創作,他們就會很高興。

【阿拉丁與魔法師】數學也可講故事

 

照本宣科教的因數倍數,很容易讓學生覺得無聊,這時老師可以用講故事來增加趣味,如果能準備金幣巧克力當道具,學生就更有興趣了!有個叫「阿拉丁與魔法師」的遊戲,是台大數學系朱建正教授設計的,我稍作修改,把劇情編排如下:

有個魔法師出門找東西,發現山洞裡有編號1到12的12袋金幣,可是看得到拿不到,呼喚「芝麻開門」門也不開,找來阿拉丁幫忙,最後終於拿到金幣了,可是要怎麼分配呢?魔法師說是我先看到的,應該我要多一點,阿拉丁卻說是我幫你拿到的,應該我分比較多。兩人爭執不下,最後魔法師對阿拉丁說,好吧,那一人拿一次,每一次都由你先拿,不管你選幾號,我都要把可以整除你那個數字的其他金幣拿走;如果我沒得拿,就要搶你的!

這就是因數規則了,老師負責扮演有點奸詐的魔法師,每個學生都是阿拉丁,說完故事示範給學生看,然後讓學生兩人一組討論,找出「阿拉丁要怎樣才拿到最多金幣」的最佳解答,讓各組同學報告,看看誰是最聰明的阿拉丁。老師善加引導,可以逐步帶領小朋友討論出最佳策略,如此一來學因數倍數就不會無聊囉!

【周長和面積】

我的女兒有一天問我,長25公分、寬16公分的長方形和邊長20公分的正方形,面積相等,為什麼周長會不一樣呢?我突然發現,孩子並不理解周長和面積。

老師要很小心自己的動作,因為學生很容易接收老師的引導,通常是在教面積,手指著圖形的周長,卻告訴學生這叫做面積,很容易讓學生混淆。建議老師可以使用釘版和橡皮筋,或者積木也可以,要先讓學生看見排滿的面積,不要太快引導到「長乘寬」的公式,否則會出現學生算周長,卻把長與寬的長度單位標成平方公分,或者把邊長乘以2當面積。

遠流有一本書「康福特的家庭聚會」,可以作為輔助教材:有一天,康福特先生準備舉辦一場盛大的家庭聚會,可是平常家裡只有康福特先生和他太太兩個人住,沒有足夠的桌椅招待客人,於是康福特先生去租了8張桌子和32張椅子準備招待客人。

在此案例中,桌子就是面積,椅子就是周長,可以讓學生自己當主人排座位,體驗周長和面積的轉換。或者使用固定數量的正方形紙片,指定學生排出最大和最小周長的幾何形狀,就能讓學生察覺「等積異長」現象。玩七巧板也是很好的幾何訓練。

數學日記觀察孩子成長

空間感和年齡、背景都沒有絕對的關係,我曾教過父母親都是台大教授的學生,天生空間感就很弱,要他用扣條做出立體的透視圖,他自己弄怎麼都做不出來,我就請一個女同學教他做,小孩教小孩很厲害,女生教男生說:「你先用四條作一個正方形,這不難吧!然後你再作一個啊,接下來兩個都要歪同一邊喔,然後上下連起來就做成了。」

後來這男生就在數學日記寫著:「平面要做成立體很容易,要把立體作為平面好難喔!」我讓學生寫數學日記,這樣可以知道學生學會了什麼,還不會什麼,據以調整自己的教學並進行補救教學。曾看過數學日記裡有同學說:「好多東西我都很擔心不會作,但謝謝有熱心同學幫我。」

建議老師要盡量營造尊重、接納、欣賞、溫馨、安全的教室氣氛,當孩子有反應時,眼光要多看他幾秒,表示老師有注意到你喔!每個班級的學生程度不一,常會出現「前段學生好無聊,後段學生鴨子聽雷」的現象,老師要妥善設計課程內容,給前段學生優越感,給後段學生成就感,盡量讓所有程度的小孩都能參與到,比較弱的學生也有能力做。

我不希望把學生訓練成計算機,人腦應該要做計算機無法取代的工作:思考和理解,培養發表討論的文化,就能經營出真正對孩子有幫助並且有樂趣的數學課!

 

(附註)

由於Xuite部落格不支援分數的格式,僅能用斜線格式代表分數,並加註中文說明,造成閱讀上的不便還請見諒。

 

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